前几日,朋友圈流出如下一道有趣的题目:

S先生,P先生,Q先生三人知道桌子的抽屉里有16张扑克牌:红桃A、Q、4,黑桃J、8、4、2、7、3,草花K、Q、5、4、6,方块A、5.约翰教授从这16张牌中选出一张来,并把牌的点数告诉P先生,而把牌的花色告诉了Q先生。这时,约翰教授问P先生和Q先生:你们能从已知的点数和花色中推知这张牌是社么牌吗?于是,S先生听到了如下的对话:
P先生:我不知道这张牌
Q先生:我知道你不知道这张牌
P先生:现在我知道这张牌了
Q先生:我也知道了
听罢以上的对话,S先生想了一想之后,就正确地推出了这张是什么牌。
请问:这张牌是什么牌?

这道题有趣之处在于,乍看之下,觉得PQ两先生的对话看似毫无信息,其实却暗藏玄机。类似的还有如下这道(忘记之前在哪里看到的了,貌似是《悖论简史-哲学和心灵的迷宫》或者《从惊讶到思考-数学悖论奇景》):

一天早上,在一个有20个孩子的班级里,几个孩子脸上沾了泥巴。孩子们能看到其他孩子脸上是否有泥巴,而看不到自己脸上是否有泥巴。这些孩子都有很强的逻辑推理能力,而且这一点所有孩子都清楚。老师说:“我们来玩一个游戏,你们大家可以看看彼此的脸,我这儿有台报时器,它将每隔10秒响一次,如果谁知道自己的脸是脏的,就请在某次声响之后马上举手。我做一个提示:你们当中至少有一个人的脸是脏的。”
游戏开始了,第14次声响后,所有的脏孩子都举起了手。
请问:有多少个孩子的脸是脏的?

这道题目初看之下也是让人摸不着头脑。重点在于,我们假设孩子们很聪明,并且每个人都知道别人很聪明,因此他们可以通过其他人在响铃后的反应来证实或者推翻一些假设。假设只有一个小孩的脸上有泥巴,那么,当第一次响铃之后,这个小孩一定会举手的,因为他看见别的小孩脸上都是干净的,而老师又提示了说至少有一个人脏脸,则此脏脸必是自已无疑。然而第一次响铃之后无人举手,说明脏脸的小孩至少2个!如果只有2个,则第二轮响铃之后,当任何一个脏脸的小孩看见其他人中只有一个脏脸时,必然可以推知自己也是脏脸,因此,他肯定会举手,然而第二次响铃之后仍是无人举手,说明脏脸的小孩至少有3人!如此继续下去,可知,当第13次响铃之后仍是无人举手,说明脏脸的小孩至少有14个,而14次响铃后,脏脸的小孩都举手了,这只能有一种解释:他们都看见其他人中只有13个脏脸,只有这种情况下,他们才能确定自己也是脏脸(否则就不是至少14个了)!因此,脏脸小孩的个数只能是14.

上面这两道逻辑推理题目做起来还是稍有难度的,下面再来看一道很简单却容易被直觉欺骗的题目:酒水问题

一个玻璃杯中盛放着半杯酒,另一个玻璃杯中盛放着等量的半杯水,从第一个杯子里舀出一茶匙酒倒入盛水的杯子中,搅匀后,从中舀出等量的一茶匙水酒混合物送回到第一个盛酒的杯子中。经过这么一来一往后,问原来盛酒的的杯子中的水多,还是原来盛水的杯子中的酒多?

凭直觉,可能很多人会觉得盛水的杯子中的酒要比盛酒的杯子中的水多(真像绕口令啊),因为觉得第一次舀出来并倒入水中的可是纯酒,而倒回酒杯中的是混合液体。然而事实并非如此,正确答案是一样多,简单的计算就可以证明。事实上,就算没有搅匀,答案也不变!因此直觉有时候并不是很可靠,就像龟兔赛跑悖论,或者三羊问题中那样。也许正是直觉的这种不可靠性,才迫使人们诉诸数学的严谨证明,并由此获得更多洞察。因此,下面我们再来看一下那个经典的智叟分羊的故事,看看数学能否带给我们对这个问题更多的认识。

故事内容想必已经家喻户晓耳熟能详了,说的是有一位老人在临终前立下遗嘱要把19头牛分给三个儿子,并且要求大儿子分到牛的总数的$\frac 1 2$, 二儿子分到$\frac 1 4$, 三儿子分到$\frac 1 5$. 由于直接按此比例去算,分到的牛的数量不是整数,因此大家不知道怎么分。后来,智叟用添上一头牛的方法巧妙地解决了这个问题,这样,老大分到 $20 * \frac 1 2 = 10$头,老二分到$20 * \frac 1 4 = 5$头,老三分到$20 * \frac 1 5 = 4$头,分走的牛的数目加起来为 $ 10 + 5 + 4 = 19$,恰好剩下智叟的一头。于是大家都称赞智叟智慧超绝。

但是,不知道大家想过没有,智叟是怎么想到添一头牛的呢?
可能智叟只是观察到,三个比例加起来并不为1,而将之通分之后,正好是$\frac {19} {20}$,因此才想出添上一头牛的方法。或者,下面这个解释也许能更加令人觉得信服。
按照老人的遗嘱,我们先进行一次分配,三兄弟各自分到的牛为:

$$
19 * \frac 1 2 \\
19 * \frac 1 4 \\
19 * \frac 1 5
$$

三人共分得$19*(\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 5) = 19 *\frac {19} {20} $,因此19头牛还没分完,还剩下$19 * \frac 1 {20} $头,这些剩下的自然也要按照老人规定的比例再次分配,于是三兄弟又各自分到:

$$
19 * \frac 1 {20} * \frac 1 2 \\
19 * \frac 1 {20} * \frac 1 4 \\
19 * \frac 1 {20} * \frac 1 5
$$

但这样也还是没分完,于是,如此继续下去—-最后,三兄弟各自分到的数目为

$$
19 * \frac 1 2 *(1 + \frac 1 {20} + \frac 1 {20^2} + …) \\
19 * \frac 1 4 *(1 + \frac 1 {20} + \frac 1 {20^2} + …) \\
19 * \frac 1 5 *(1 + \frac 1 {20} + \frac 1 {20^2} + …)
$$

通过求极限,即可得到和智叟的分法相同的结果。不需要灵机一动,而仅仅借助一点简单的数学,问题便得到解决。